Dywersyfikacje, korelacje – jak to w praktyce policzyć?

W artykule Jak można mieć wroga i przyjaciela w tej samej osobie wskazałem na to jak koncepcja dwu wirtualnych inwestorów może prowadzić do redukcji ryzyka. Dalsze geometryczno  -  statystyczne dywagacje, mające w zamierzeniu liczbowe ujęcie tego zjawiska, doprowadziły do postulatu, aby współczynnik korelacji pomiędzy sekwencjami zysków był możliwie bliski zeru. Sens tego kryterium najlepiej zilustruje przykład, który przedstawię w obecnym odcinku.

Przykład ten zawiera dane reprezentujące sekwencje zysków osiąganych w kolejnych przedziałach czasowych przez „braci bliźniaków”. Te same dane, które były zaprezentowane na wcześniej omawianych wykresach. Przedział czasowy to tydzień kalendarzowy, a horyzont czasowy inwestycji, jak pamiętamy, wynosi nieco ponad rok. Daje to sekwencje każda o długości około 60 elementów. Jest to zdecydowanie zbyt dużo, aby był sens wykonywać obliczenia na kartce papieru, albo nawet przy użyciu zwykłego kalkulatora.

Dlatego też, jak w wielu podawanych w przyszłości przykładach, proponuję zaprzęgnięcie do pracy arkusza kalkulacyjnego. Ponieważ jednym z najpopularniejszych jest Excel, prezentować będę arkusze obliczeniowe właśnie w formacie danych stosowanym przezeń, czyli w postaci plików XLS. Dodatkowo warto pamiętać, że jakkolwiek aplikacja ta stanowi część komercyjnego pakietu Microsoft Office, to istnieje darmowy pakiet biurowy OpenOffice dostępny tutaj , który w wielu zastosowaniach zapewnia podobną funkcjonalność co jego komercyjny odpowiednik. Większość przykładowych arkuszy będę konstruować tak, aby możliwe było ich przeliczenie właśnie za pomocą OpenOffice.

Niezależnie od tego, dla czytelników zainteresowanych wykonaniem obliczeń w jakimkolwiek innym programie, podaję plik w formacie CSV. Jest on po prostu plikiem tekstowym, zawierającym w kolejnych linijkach wartości liczbowe oddzielane przecinkami. Wspominam o tym formacie między innymi dlatego, że w dalszych, nawet bardziej zaawansowanych przykładach, ten format będzie często stosowany do przekazywania końcowych albo pośrednich wyników obliczeń. W tym przypadku wartości te to odpowiednio: data w postaci liczby, wartość skumulowanego zysku inwestora podążającego za trendem, i analogiczna wartość dla inwestora antytrendowego.

Natomiast obliczenia zrealizowane za pomocą arkusza kalkulacyjnego można znaleźć w tym pliku. Pokrótce omówię teraz jego strukturę i układ komórek, licząc na to, że pomoże to w zrozumieniu metody obliczeń.

Kolumna A zawiera kolejne daty początków przedziałów czasowych w postaci liczbowej. Kolumna C zawiera wartości skumulowanych zysków inwestora protrendowego. Początkowa wartość równa 0 oznacza po prostu, że interesuje nas różnica pomiędzy bieżącą wartością jego kapitału a kapitałem początkowym. Kolejna kolumna zawiera, począwszy od drugiego tygodnia, różnice czyli zyski bądź straty osiągane w kolejnych tygodniach. Na samym jej dole znajduje się formuła wyznaczająca średnią arytmetyczną tych wartości, czyli średni tygodniowy wynik działania strategii.

Fragment danych dostępnych w pliku do którego link znajduje się w tekście

W kolejnej kolumnie znajdują się wartości wyników tygodniowych z odjętą średnią, ponieważ jak wskazałem z tekście o geometrycznej interpretacji tutaj, interesuje nas ryzyko jako wskaźnik odchyleń od średniego zysku. Z kolei kolumna F zawiera wartości poprzedniej podniesione do kwadratu. Na samym jej dole znajduje się pierwiastek kwadratowy sumy tych wartości, czyli po prostu długość wektora odchyleń (zwana też jego normą Euklidesową). Jest ona miarą ryzyka.

Analogiczny układ wartości znajduje się w kolumnach od H do K, oczywiście odpowiadając strategii antytrendowej. Kolumna M zaś zawiera iloczyny odchyleń jednej strategii i drugiej. Na jej dole znajduje się suma tych iloczynów czyli wspomniany już wcześniej iloczyn skalarny. W sąsiedniej komórce jest wartość tego iloczynu podzielona przez iloczyn długości wektorów obu strategii. Jak wiemy, w interpretacji statystycznej jest to po prostu współczynnik korelacji pomiędzy wynikami strategii w poszczególnych przedziałach czasowych.

W podanym przykładzie wartość tego współczynnika wynosi on niewiele ponad 0.02. Oznacza to, że wektory strategii są niemal idealnie ortogonalne. W następnej części zostaną podane obliczenia pokazujące w jaki sposób przekłada się to na redukcję ryzyka strategii uśrednionej.

Korelacje strategii - jak się ma geometria do statystyki

Kontynuujemy rozważania mające na celu podejście do dywersyfikacji strategii za pomocą wzorów matematycznych. Poprzednia ich część dostępna tutaj doprowadziła do formuły pozwalającej na wyznaczenie cosinusa kąta pomiędzy wektorami reprezentującymi wyniki działania strategii.

Ponieważ rozważania te mogły wydawać się nieco abstrakcyjne, przypomnę teraz jaka jest praktyczna interpretacja składowych wektorów u i v występujących w tej formule Powstają one poprzez przekształcenie wektorów zawierających wyniki obu strategii, uzyskane w kolejnych interwałach czasowych. Oznaczmy te wektory x i y.

Wektory te następnie podlegają przekształceniu polegającemu na odjęciu od każdej współrzędnej wektora średniej arytmetycznej wszystkich jego współrzędnych. Przy czym wartość ta, dla każdego z dwu wektorów jest oznaczana poziomą kreską nad literą odpowiadającą temu wektorowi.

Znając związek pomiędzy wektorami u i x oraz v i y, oraz stosując symbol sumy, można wzór na cosinus kąta między wektorami u i v zapisać w następującej, równoważnej postaci:

 

Czytelnik znający choćby podstawowe elementy statystyki, z łatwością odnajdzie w powyższym wzorze znany dobrze wskaźnik statystyczny. Tak, to jest współczynnik korelacji, wyznaczany na podstawie próby losowej. Wielkość, która jest miernikiem zależności dwu wielkości liczbowych. Przyjmuje on wartości od -1 do +1, a jego wartość równa 0 oznacza brak związku pomiędzy dwoma mierzonymi wielkościami.

Co więcej, analogie pomiędzy statystyką a geometrią się tutaj nie kończą. W liczniku znajduje się kowariancja będąca odpowiednikiem iloczynu skalarnego. Z kolei w mianowniku jest iloczyn odchyleń standardowych, który jest odpowiednikiem iloczynu długości mnożonych przez siebie wektorów.

Wynika z tego zatem, że po prostu poszukujemy takich par strategii, których wyniki stanowią nieskorelowane ciągi liczb. Można by zadawać w tym momencie pytania: „Czy nie można było tak od samego początku?”, „Po co bawić się w jakieś rysunki kolorowych kresek ze strzałkami?”. W końcu współczynnik korelacji jest wskaźnikiem klasycznym, powszechnie znanym. Byle arkusz kalkulacyjny ma go w swoim zestawie funkcji.

Może i można było, jednak zależało mi na przedstawieniu pewnej analogii pomiędzy geometrycznym podejściem do postulatu redukcji ryzyka a statystyczną analizą danych. Oczywiście, zdaję sobie sprawę, że powyższe wzory i przekształcenia mogą wydawać się dość teoretyczne i „suche”. Dlatego też w kolejnych odcinkach przedstawię przykład liczbowy ilustrujący praktyczne obliczenia z zastosowaniem tych wzorów dla konkretnych zbiorów danych.

Dywersyfikacja strategii – wzory matematyczne

W przedstawionej niedawno serii tekstów przybliżającej obrazowo koncepcję dywersyfikacji strategii posłużyłem się analogiami do geometrii. Jakkolwiek rysunki są zwykle pomocne w ogólnym uchwyceniu idei, to precyzyjne jej zrozumienie zwykle wymaga formalnego ujęcia w postaci wielkości liczbowych, definiujących je wzorów i zależności pomiędzy nimi. To chciałbym uczynić w najbliższych dwu tekstach.

Intuicyjne rozważania, poparte rysunkami, doprowadziły do konkluzji, że warto poszukiwać strategii reprezentowanych przez wektory prostopadłe. W przypadku klasycznej geometrii na płaszczyźnie, relacja prostopadłości wektorów, zwana też ortogonalnością, może być łatwo sprawdzana za pomocą cyrkla i linijki. Jednak w przypadku badania strategii opisywanych za pomocą wektorów o wielu współrzędnych, metody graficzne nie wystarczają – potrzebne są wielkości liczbowe.

Taką wielkością jest iloczyn skalarny dwu wektorów. W przypadku przestrzeni dwu- i trójwymiarowych ma on swoją interpretację jako iloczyn długości obu wektorów pomnożony przez cosinus kąta zawartego pomiędzy nimi. W przypadku przestrzeni dowolnego wymiaru jest on formalnie definiowany jako suma iloczynów odpowiednich współrzędnych obu wektorów.

Zestawienie tych obu faktów prowadzi do wzoru pozwalającego na badanie wzajemnego przestrzennego położenia wektorów nawet w przypadkach wielowymiarowych, gdzie nie da się tego zaprezentować graficznie. Załóżmy, że są dane dwa wektory: u i v w przestrzeni o N wymiarach, o następujących współrzędnych:

Ponieważ w prezentowanych dotąd tekstach nie pojawiały się wzory matematyczne, jest teraz okazja aby wyjaśnić jedną ze stosowanych przeze mnie konwencji oznaczeń. Pozostałe będę omawiać przy kolejnych wzorach zawierających nie występujące wcześniej rodzaje symboli.

Ze względu na to, że wielkości wektorowe będą się co jakiś czas pojawiać w podawanych przeze mnie wzorach, będę starał się konsekwentnie oznaczać je literami pogrubionymi, natomiast ich współrzędne będą wypisane w nawiasach okrągłych. Przy tym stosować będę numerację tych współrzędnych, jak również innych wielkości wyliczanych, rozpoczynając zawsze od 0. Czyli na przykład wektor w przestrzeni 10-wymiarowej będzie miał współrzędne o indeksach od 0 do 9.

Można teraz napisać wzór pozwalający na obliczenie cosinusa kąta pomiędzy wektorami u i v w przestrzeni dowolnego wymiaru:

 

Symbol małego kółka pomiędzy dwoma wektorami oznacza właśnie operację iloczynu skalarnego, natomiast pionowe kreski oznaczają długość wektora, czyli pierwiastek z sumy kwadratów jego współrzędnych. Końcowa postać wzoru została przedstawiona w postaci elementarnych operacji algebraicznych.

Należy teraz sobie przypomnieć postulat, od którego zaczęły się te wszystkie matematyczne dywagacje: wyznaczenie strategii, dla których odpowiadające im wektory są prostopadłe, czyli inaczej ortogonalne. Jak wiadomo, cosinus kąta prostego wynosi zero, zatem sprowadza się to do poszukiwania takiej pary strategii, aby obliczenia wykonane przy użyciu podanego wyżej wzoru dały w wyniku zero. Ponieważ jednak w rzeczywistości może okazać się trudne (lub nawet niemożliwe) uzyskanie dokładnie zera, praktyczna realizacja tego postulatu sprowadza się do poszukiwania wartości w przybliżeniu równej zeru, z możliwie niewielkim odchyleniem.

Ponieważ rozważania te mogą wydawać się nieco abstrakcyjne, w kolejnej części wskażę jaka jest praktyczna interpretacja zmiennych występujących w podanym wzorze.

Wektory spekulacji czyli jak szkolna geometria ma się do redukcji ryzyka – część 3

Kontynuujemy rozważania z zakresu geometrii wektorów w zastosowaniu do problematyki łączenia strategii w celu redukcji ryzyka. W poprzedniej części pokazano ilustracyjnie przykłady par wektorów, które absolutnie się do tego nie nadają. Obecna część, zamykająca ten temat, dostarcza konstruktywnej odpowiedzi.

Proponuję podążać intuicją geometryczną, którą przedstawiłem w poprzednich przykładach – skoro wektory równoległe i o tym samym zwrocie nie dają pożądanego efektu, a wektory przeciwne nie mają realnego sensu, to może pomyślmy o prostopadłości…?

Kolejny rysunek ilustruje parę wektorów prostopadłych, a także ich średnią arytmetyczną, oznaczoną kolorem zielonym.

 

Sumowanie wektorów wykonuje się za pomocą znanej ze szkoły reguły równoległoboku, który w tym przypadku jest prostokątem. Na powyższym, oczywiście tendencyjnie sporządzonym, rysunku prostokąt ten jest zbliżony do kwadratu, ponieważ wektory mają porównywalne długości. Oczywiście, długość wektora będącego sumą wektorów prostopadłych jest, na podstawie twierdzenia Pitagorasa, pierwiastkiem z sumy kwadratów długości wektorów sumowanych. A ponieważ interesuje nas średnia wektorów, należy tę liczbę jeszcze podzielić przez 2.

Jaki to wszystko ma związek ze spekulacjami, trendami i strategiami? Ano taki, że jeśli jako strategie elementarne dobierzemy takie, które mają porównywalne wskaźniki ryzyka i spełniają kryterium prostopadłości, to ryzyko strategii uśrednionej można nietrudno wyliczyć. Tak samo, jak łatwo wyliczyć połowę długości przekątnej kwadratu o znanym boku a – wystarczy długość boku kwadratu podzielić przez pierwiastek z 2. W przybliżeniu wyniesie ona 0,7071 a.

W praktyce oznacza to, że uśrednienie takich dwu strategii powinno przynieść redukcję ryzyka o około 30%. Oczywiście powyższe rozważania stanowią jedynie ogólną ilustrację tej idei. Mam jednak nadzieję, że pozwalają na wyrobienie pewnej intuicji w zakresie patrzenia na strategie spekulacyjne w geometrycznym ujęciu.

Rozważania o ilustracyjnym charakterze chwilowo kończymy. Jednak temat strategii jako wektorów będzie kontynuowany w już w ujęciu bardziej formalnym. Konkretne wzory matematyczne, wraz z przykładami liczbowymi, będą tematem kilku następnych odcinków.

Wektory spekulacji czyli jak szkolna geometria ma się do redukcji ryzyka – część 2

W poprzedniej części przedstawiono ideę łączenia par strategii: podążającej za trendem i antytrendowej za pomocą obrazowej interpretacji w postaci wektorów. Została postawiona kwestia znalezienia reguły kierującej doborem tych par wektorów. W obecnej części wskażemy, ponownie posługując się ilustracjami, przykłady negatywnych zestawień, aby dalej móc zaproponować pewne konstruktywne kryterium.

Jest oczywiste, że wektory te nie mogą być sobie równe, tak jak na poniższym rysunku. Wektory czerwony i niebieski symbolizują dwie strategie elementarne o identycznych ryzykach. Mają identyczne: długość, kierunek i zwrot. Nic więc dziwnego, że wektor zielony, będący ich średnią arytmetyczną jest tożsamy z każdym z nich. O żadnej redukcji ryzyka zatem nie może być mowy.

Wektory spekulacji czyli jak szkolna geometria ma się do redukcji ryzyka – część 1

Omówiłem ostatnio ogólną ideę, jaka leży u podłoża koncepcji wirtualnych inwestorów, posługując się przy tym przykładem braci bliźniaków działających na rynku Forex. Teraz, kontynuując ten temat, chciałbym wskazać na pewne kryterium doboru tych strategii działania. Posłużę się tutaj analogią ze szkolnej geometrii, która, choć uproszczona, powinna być ilustracją tego kryterium.

Jest chyba intuicyjnie zrozumiałe, niemal oczywiste, że nie zawsze dwie strategie, połączone poprzez uśrednienie wyników, zapewniają automatyczną redukcję ryzyka. Trzeba mieć świadomość, że strategie spekulacyjne, zarówno pro- jak i antytrendowe, stanowią olbrzymi zbiór, wręcz nieskończone Universum. Istnieją strategie oparte o średnie kroczące kursów, wybicia z kanałów tworzonych przez maksima i minima kursowe, jak również bazujące na innych rozlicznych wskaźnikach analizy technicznej.

Nie wystarczy zatem wziąć jakąś pierwszą z brzegu strategię podążania za trendem, dorzucić do niej inną, również przypadkowo wybraną strategię antytrendową i liczyć na pozytywny efekt w postaci znacząco mniejszej zmienności zysków oraz strat. Potrzebne jest jakieś kryterium, najlepiej wyrażane liczbowo, oparte na obiektywnych przesłankach.

Jak można mieć wroga i przyjaciela w tej samej osobie czyli bliźniacy na rynku Forex – część 2.

W poprzedniej części przedstawiłem przykład pokazujący historię zysków i strat dwu inwestorów stosujących na tym samym rynku (kursu dolara względem złotówki) dwie odmienne strategie: podążania za trendem i antytrendową. Obie przyniosły porównywalne docelowe zyski jednak miały odmienne charaktery ryzyka, różne wady i zalety.

Obecnie przedstawię propozycję tworzenia strategii syntetycznej, łączącej zalety obu podejść i zarazem redukującej ich wady. Posłuży temu przykład braci inwestujących na Forexie. Wcześniej jednak omówię skrótowo przebieg linii kapitału dla obu strategii, wskazując na wartości liczbowe, które można zobaczyć na wykresie.

 

Inwestor podążający, po początkowym dużym zysku wynikającym z silnego spadku kursu, wszedł w etap systematycznych strat wynikających z niewielkiego impetu kursu. Saldo inwestora spadło aż o 350 złotych od wcześniejszej maksymalnej wartości. Z kolei antytrendowiec w tym okresie cieszył się serią zysków przewyższających straty i jego saldo powoli rosło, nie schodząc nigdy poniżej 100 względem wartości początkowej.

Jak można mieć wroga i przyjaciela w tej samej osobie czyli bliźniacy na rynku Forex – część 1

W poprzedniej części omówiłem istotę dwóch podstawowych koncepcji działania na rynku Forex, ich główne zalety i słabe punkty. Wskazałem przy tym, że koncepcja strategii podążającej za trendem jest bardziej powszechna wśród inwestorów. Znajduje to odzwierciedlenie w popularnej przestrodze: „Nie walcz z trendem”, albo powszechnie znane w angielskiej wersji powiedzenie: „Trend is your friend”.

Teraz chciałbym przedstawić pewną ideę, która pozwoli na połączenie zalet obu podejść: podążającego oraz antytrendowego. Postaram się zilustrować to na przykładzie, który choć dobrany tendencyjnie, powinien oddać główne przesłanie metody.

Jako dane wejściowe do badania strategii zostały użyte notowania dolara amerykańskiego względem złotówki w okresie od marca ubiegłego roku do końca kwietnia bieżącego roku. Poniższy wykres pokazuje tendencje jakie miały miejsce w ruchach kursu tej waluty.

Momentum i equilibrium na Forex czyli o braku wiatru w żaglach i łapaniu spadającego noża.

Jedną z reguł działania nie tylko na rynkach kapitałowych, ale nawet w życiu codziennym jest zasada „kup tanio, sprzedaj drogo”. Reguła dość jasna, intuicyjnie zrozumiała. Powiedzmy więcej, na rynku konsumenckim funkcjonuje nawet wersja uproszczona, ograniczona do pierwszej części: „kupuj, bo jest tanio”. Ileż to razy klient wydaje pieniądze na zakup towaru, dając się skusić na różne okazje i przeceny...

Na rynkach kapitałowych, w szczególności na Forex funkcjonuje też inna zasada: „kup drogo, sprzedaj jeszcze drożej”. Reguła już mniej intuicyjna, chociaż również dla niej można znaleźć analogię z codziennego życia: „kupuj pomimo że jest drogo, bo potem będzie jeszcze drożej”. Przypomnijmy sobie, jak w ubiegłym roku mieliśmy do czynienia z galopującą podwyżką cen cukru. Oczywiście, zachowania konsumentów raczej nie były motywowane chęcią późniejszej odsprzedaży gromadzonych zapasów, jednak ogólna idea tego zjawiska jest podstawą konstrukcji elementarnych strategii działania na rynkach kapitałowych.

Na początek warto przypomnieć sobie, co opisywałem w poprzednim artykule, że na rynku Forex można wirtualnie sprzedać walutę nawet jeśli się jej fizycznie nie posiada, co odpowiada zajęciu pozycji krótkiej. Zatem w przypadku pierwszej zasady istnieje jej symetryczna wersja: „sprzedaj drogo, odkup taniej”. Z kolei druga reguła ma swoje zwierciadlane odbicie: „sprzedaj tanio, odkup jeszcze taniej”.