Optymalizacja łączenia strategii z parametryzowaną funkcją celu – problem stabilności wyników

Pozostajemy jeszcze na krótko przy zagadnieniu optymalizacji skuteczności pary strategii: podążającej za trendem i antytrendowej. Kryterium optymalności uwzględnia dwa postulaty: maksymalizacji zysku i minimalizacji korelacji. Kryteria te są połączone w jedną zagregowaną funkcję celu, za pomocą kombinacji liniowej dwóch kryteriów cząstkowych. Dzisiaj chciałbym na parę chwil skupić uwagę na znaczeniu doboru współczynników tej kombinacji.

Ostatnio podana przykładowa para wyników ukazała ciekawe zjawisko: dwie różne co do wartości kombinacje dały w efekcie optymalne wartości osiągane dla takich samych par argumentów. Czy jest to zjawisko korzystne? Odpowiedź, do której można dojść drogą intuicji, brzmi: zasadniczo tak. Powtarzalność wyników, ich niezależność od układów parametrów sterujących konstrukcją funkcji celu, jest pożądaną cechą metody. Jest tak, ponieważ stwarza przesłanki do porzucenia trosk o konieczność arbitralnego doboru parametrów.

Optymalizacja łączenia strategii – przykładowe wyniki

Po skonstruowaniu formuły służącej do jednoczesnej optymalizacji łącznego zysku i korelacji par strategii, proponuję krótko przyjrzeć się wynikom obliczeń przeprowadzonych dla przykładowego zbioru notowań i parametrów strategii pro- i antytrendowych. Jednak, jak można się tego domyślać, na obecnym etapie konstrukcji elementów złożonego systemu transakcyjnego, to nie same wyniki w postaci takich czy innych układów liczb są przedmiotem naszego zainteresowania. Celem tych prostych przykładów liczbowych jest próba wysnucia pewnych wniosków natury ogólniejszej. Takich, które będą przydatne przy doborze parametrów reguł decyzyjnych dla docelowego systemu.

Wesołych Świąt

Z okazji nadchodzących Świąt 

życzę wszystkim Koleżankom i Kolegom: 

szczęśliwych, spokojnych i radosnych dni 

z dala od szumu wentylatorów PC-tów 

i mrugających na niebiesko i czerwono konsol MT4. 

Przez ten czas 

niech nie zakłóca naszego spokoju 'market volatility' 

a zamiast świeczek OHLC 

nasze oblicza rozjaśni blask świecy przy wigilijnej wieczerzy.

Natomiast w nadchodzącym Nowym Roku: 

wąskich spreadów, 

niskich poślizgów, 

dwucyfrowych stóp zwrotu 

(na rachunkach rzeczywistych). 

Wam wszystkim i sobie życzy:

Michał

Optymalizacja połączenia strategii podążających za trendem i antytrendowych

Przedstawione ostatnio krótkie rozważania na temat matematycznych aspektów optymalizacji strategii z zastosowaniem dwóch kryteriów jednocześnie doprowadziły do pewnej, jak się wydaje, konstruktywnej propozycji. Jest nią połączenie dwóch rozpatrywanych funkcji celu – w tym przypadku są to korelacja oraz łączny skumulowany zysk – w jedno wspólne kryterium. Pozostaje istotna kwestia odpowiedniego doboru tej funkcji. Tym zagadnieniem zajmiemy się dzisiaj, wykonując zarazem pierwsze podejście do jego implementacji w arkuszu kalkulacyjnym.

Jak wynika z ostatnich wniosków, przekształcenie dwu kryteriów w jedno wspólne powinno odbywać się z wykorzystaniem funkcji dwu zmiennych. Aby odwzorować kierunek poszukiwań rozwiązania optymalnego, funkcja ta powinna mieć wyraźnie określone własności monotoniczności. Musi ona być rosnącą funkcją wielkości podlegającej maksymalizacji oraz malejącą funkcją wielkości podlegającej minimalizacji. Wówczas będziemy poszukiwać wartości maksymalnej tak zagregowanych kryteriów.

Krótka refleksja na temat zagadnień optymalizacji matematycznej

W wyniku prowadzonych ostatnio rozważań zostały opracowane elementy arkusza kalkulacyjnego, służące do wyznaczania dwóch istotnych wielkości liczbowych, charakteryzujących efekty działania połączonych strategii. Pierwsza z nich to tablica korelacji dla par sekwencji wyników strategii pro- i antytrendowych. Drugą z nich jest natomiast zestawienie ich łącznych zysków końcowych, czyli po prostu sumy odpowiednich skumulowanych wartości dla każdej ze strategii z osobna.

Jak wspomniałem wcześniej, wartości te są podstawą do oceny skuteczności łączenia par strategii wyrażanej poprzez maksymalizację zysku oraz redukcję ryzyka. To ostatnie kryterium wyraża się formalnie w postaci poszukiwania par strategii bądź o korelacji zbliżonej do zera, bądź też nawet skorelowanych ujemnie. Jednak na ten drugi przypadek w praktyce trudno jest liczyć chcąc zarazem zachować dodatni łączny zysk. Pary strategii: podążające za trendem i antytrendowe działające z identycznymi parametrami będą oczywiście charakteryzować się idealnie ujemną korelacją, jednak zarazem ich zyski będą liczbami przeciwnymi, a nawet dodatkowo każdy z nich będzie obniżony o koszty spreadu lub prowizji. Zatem ich łączny zysk będzie liczbą ujemną.

Korelacje oraz łączny zysk strategii podążających za trendem i antytrendowych

Wyznaczona została ostatnio tablica współczynników korelacji pomiędzy sekwencjami zysków powstającymi w wyniku realizacji rodzin strategii. Celem wyznaczania i analizy tych współczynników jest realizacja postulatu dywersyfikacji strategii, czyli wyszukiwania takich reguł działania, które – chociaż stosowane na tym samym rynku i dla tej samej pary walutowej – zapewnią zróżnicowanie wyników. W konsekwencji powinno to prowadzić do gładkich krzywych kapitału oraz jak najmniejszych obsunięć. Powstaje jednak pytanie: czy to kryterium minimalizacji korelacji jest wystarczające? Odpowiedzi powinny dostarczyć dzisiejsze rozważania wraz z formułami istotnie rozszerzającymi kryteria łącznych ocen par strategii: pro- i antytrendowych.

W pierwszej kolejności warto przypomnieć postulat maksymalizacji łącznych zysków osiąganych przez wirtualnych inwestorów. Jest to oczywiste i naturalne – cóż nam przyjdzie z tego, że zyski w poszczególnych interwałach czasowych będą charakteryzować się niskim wzajemnym podobieństwem, jeśli osiągniemy negatywny końcowy wynik w postaci straty. Wynika z tego, że naturalnym następstwem będzie utworzenie kolejnej tablicy zawierającej końcowe skumulowane zyski połączonych par strategii.

Korelacje pomiędzy zyskami strategii podążającej za trendem i antytrendowej

Zakończywszy ogólne rozważania na temat modeli liniowych szeregów czasowych , proponuję powrót do głównego tematu, to znaczy do analizy sekwencji zysków otrzymywanych w wyniku zastosowania poszczególnych strategii. A wręcz całych ich rodzin – tych opartych na koncepcji podążania za trendem, jak i kontrariańskich. A zbiory tych strategii elementarnych są oczywiście indeksowane parametrami liczbowymi. Właśnie zależności i relacje pomiędzy wynikami uzyskiwanymi dla różnych koncepcji i różnych wartości tych parametrów są tematem obecnego odcinka.

Liczbowym miernikiem tych zależności będzie oczywiście nasze podstawowe narzędzie - współczynnik korelacji. Obliczaliśmy go i omawialiśmy przy różnych okazjach – zarówno badając korelacje pomiędzy samymi znakami zajmowanych pozycji a zmianami kursu , jak również korelacje pomiędzy sekwencjami zysków a zmianami kursu . Obecnie, mając do dyspozycji wyznaczone sekwencje zysków obu rodzin strategii, pro- i antytrendowych, możemy pokusić się o sporządzenie zestawienia korelacji pomiędzy nimi.

Proces autoregresji pierwszego rzędu – estymacja parametru

Najwyższy czas już zakończyć tę dość przydługą dygresję na temat modeli zależności procesu zysków od jego przeszłych wartości. Zaproponowałem i krótko omówiłem najprostszą jego wersję w postaci procesu o jawnej liniowej zależności od ostatniej poprzedzającej obserwacji – procesu autoregresji pierwszego rzędu. Użyteczność tego modelu jest oczywiście warunkowana możliwością oceny jego parametru – na szczęście w liczbie pojedynczej – na podstawie sekwencji obserwowanych wartości. Ocena ta, czyli estymator, będzie sformułowana na podstawie wyznaczonej wcześniej funkcji autokorelacji.

Proces autoregresji pierwszego rzędu – model zależności od historycznych wartości

Najprostszy przypadek procesu autoregresji został omówiony ostatnio. Jest to model zawierający jeden parametr liczbowy, determinujący zależność jego bieżącej wartości od poprzedniej. Warto jednak zwrócić uwagę na fakt, że zależność ta ma charakter rekurencyjny, skoro odwołuje się do wartości tego samego procesu. W istocie oznacza to, że w chwili bieżącej model odwzorowuje całą jego – teoretycznie przynajmniej – nieskończoną historię. Proponuję zatem bliżej przyjrzeć się wzorom określającym funkcyjną postać tego odwzorowania.

Jak wspomniałem ostatnio, formalny aparat matematyczny służący do badania tego typu modeli jest dość złożony – wymaga rozwiązywania układów równań (choć na szczęście liniowych). Natomiast, jak łatwo się domyślić, liczba niewiadomych i zarazem równań w nich występujących zależy wprost od rzędu modelu, czyli liczby określającej liczbę wartości przeszłych, jawnie występujących w jego definicji. Skoro rozważamy model pierwszego rzędu, to można liczyć na to, że układ równań stanie się pojedynczą prostą formułą.

I tak będzie w istocie, natomiast w pierwszej kolejności, aby przybliżyć nieco intuicyjnie sens rozważanej zależności funkcyjnej, rozpiszemy ją korzystając wielokrotnie z przejścia do wartości o jeden indeks wcześniejszych. Kontynuując przekształcenia podawane w poprzednim odcinku, w każdym kroku cofamy się, podstawiając w miejsce danej wartości y, kombinację odpowiednich y oraz epsilon. Prowadzi to do następującej serii wzorów

Zatem mamy kombinację kolejno coraz wcześniejszych zmiennych epsilon, każdej mnożonej przez współczynnik alfa w coraz to wyższych potęgach. Nietrudno zauważyć, że we wzorze tym powstaje kombinacja o współczynnikach tworzących wspomniany wcześniej ciąg geometryczny. Zarazem pozostaje składnik zawierający pojedynczą wartość y, jednak o coraz dawniejszym indeksie i dodatkowo mnożony przez coraz wyższą potęgę alfa.

W tym momencie należy podać jedno z istotnych założeń, przy których model autoregresji ma w ogóle sens. Otóż w tym najprostszym przypadku, z pojedynczym parametrem, zakłada się, że jego wartość bezwzględna jest mniejsza od jedności. Innymi słowy, liczba alfa przyjmuje wartości z przedziału (-1, 1). A przy tym założeniu nasz ciąg geometryczny jest ciągiem zbieżnym, a wpływ potęgi alfa staje się malejący wraz oddalaniem się indeksu w czasie.

Oznacza to, że przy N przechodzącym do nieskończoności, otrzymujemy model opisywany przez nieskończoną sumę impulsów losowych o wagach wykładniczo malejących wraz z oddalaniem się w przeszłość:

Natomiast sens i przydatność tego modelu dla projektowania i analizy procesów zachodzących na rynkach kapitałowych postaram się ilustrować na przykładach, przedstawianych w kolejnych odcinkach.