Proces autoregresji pierwszego rzędu – estymacja parametru

Najwyższy czas już zakończyć tę dość przydługą dygresję na temat modeli zależności procesu zysków od jego przeszłych wartości. Zaproponowałem i krótko omówiłem najprostszą jego wersję w postaci procesu o jawnej liniowej zależności od ostatniej poprzedzającej obserwacji – procesu autoregresji pierwszego rzędu. Użyteczność tego modelu jest oczywiście warunkowana możliwością oceny jego parametru – na szczęście w liczbie pojedynczej – na podstawie sekwencji obserwowanych wartości. Ocena ta, czyli estymator, będzie sformułowana na podstawie wyznaczonej wcześniej funkcji autokorelacji.

Wychodząc od podstawowego równania definiującego model, czyli

 

możemy dokonać prostej operacji polegającej na pomnożeniu obu jego stron przez tę samą liczbę, będącą wartością procesu w chwili poprzedniej, czyli inaczej:

 

Następnym i najważniejszym krokiem jest wyznaczenie wartości oczekiwanej po obu stronach tego wyrażenia. Operacja ta już bezpośrednio powinna doprowadzić nas do funkcyjnej zależności parametru alfa od autokorelacji. Wcześniej tylko należy uczynić dwie drobne uwagi. Pierwsza odnosi się do własności tego procesu, którą określa się mianem stacjonarności. Pojęcie to jest szeroko stosowane w analizie szeregów czasowych i może być interpretowane intuicyjnie jako niezmienność własności procesu w funkcji czasu. A bardziej potocznie można to sprowadzić do stwierdzenia, że numeracja indeksów zmiennych tworzących sekwencję nie jest istotna.

Prostą konsekwencją tej własności jest fakt, że zarówno jego wartość oczekiwana jak i wariancja są stałe i nie zależą od indeksu interwału czasowego, z którego pochodzi dana próbka. A co do drugiej drobnostki, która powinna zostać uwzględniona, to jest nią właśnie wartość oczekiwana, która – jako stała i niezmienna w czasie – może zostać odjęta od wartości procesu na potrzeby przekształcenia podanego powyżej. Innymi słowy, zakładamy że tutaj już mamy do czynienia z procesem o zerowej wartości oczekiwanej – interesuje nas tylko jego wariancja i kowariancje.

Kiedy już niezbędne założenia zostały uczynione, możemy napisać równość, która jest wynikiem wyznaczenia odpowiednich wartości oczekiwanych:

A uwzględniając stacjonarność procesu, czyli w szczególności niezmienność wariancji, podzielenie obu stron przez tę ostatnią liczbę oznacza po prostu, że estymatorem współczynnika alfa jest po prostu pierwszy (licząc od zera) współczynnik autokorelacji.