Krótka refleksja na temat zagadnień optymalizacji matematycznej

W wyniku prowadzonych ostatnio rozważań zostały opracowane elementy arkusza kalkulacyjnego, służące do wyznaczania dwóch istotnych wielkości liczbowych, charakteryzujących efekty działania połączonych strategii. Pierwsza z nich to tablica korelacji dla par sekwencji wyników strategii pro- i antytrendowych. Drugą z nich jest natomiast zestawienie ich łącznych zysków końcowych, czyli po prostu sumy odpowiednich skumulowanych wartości dla każdej ze strategii z osobna.

Jak wspomniałem wcześniej, wartości te są podstawą do oceny skuteczności łączenia par strategii wyrażanej poprzez maksymalizację zysku oraz redukcję ryzyka. To ostatnie kryterium wyraża się formalnie w postaci poszukiwania par strategii bądź o korelacji zbliżonej do zera, bądź też nawet skorelowanych ujemnie. Jednak na ten drugi przypadek w praktyce trudno jest liczyć chcąc zarazem zachować dodatni łączny zysk. Pary strategii: podążające za trendem i antytrendowe działające z identycznymi parametrami będą oczywiście charakteryzować się idealnie ujemną korelacją, jednak zarazem ich zyski będą liczbami przeciwnymi, a nawet dodatkowo każdy z nich będzie obniżony o koszty spreadu lub prowizji. Zatem ich łączny zysk będzie liczbą ujemną.

Skoro więc trudno jest pary skorelowane w stopniu -1, to pozostaje nam wzmiankowana wyżej optymalizacja, czyli dobór takich parametrów, które możliwie zbliżą nas do pożądanego celu. Formalna, matematyczna definicja tego zagadnienia ma oczywiście charakter bardzo ogólny i teoretyczny. Sprowadza się do znalezienia takiego argumentu w z góry określonym zbiorze, dla którego wartość funkcji kryterium jest największa (w przypadku zadania maksymalizacji) lub odpowiednio najmniejsza (w przypadku problemu minimalizacji).

Techniki i algorytmy służące do rozwiązywania tego typu zagadnień są bardzo różnorodne i już dawno rozwinęły się w oddzielny dział matematyki. Jednak jeden podstawowy element jest niezmienny – funkcja kryterium jest pojedyncza i podlega zawsze maksymalizacji lub minimalizacji. Zadanie jednoczesnego poszukiwania maksimum jednej funkcji oraz minimum drugiej z formalnego punktu widzenia nie jest poprawnie określone. Ponieważ jednak tego rodzaju zadania w praktyce pojawiają się, trzeba sobie jakoś z nimi radzić, próbując sprowadzić je do przypadków nadających się do rozwiązania.

Jednym z możliwych podejść do tego zagadnienia jest poszukiwanie ekstremów warunkowych. Dla funkcji, która miałaby być minimalizowana można zadać pewne górne ograniczenie, czyli wartość, której nie można przekroczyć. A dla argumentów spełniających ten warunek poszukiwać już klasycznymi metodami maksimum tej drugiej funkcji. Oczywiście symetrycznie można też określić dolne ograniczenie dla funkcji, którą chcemy maksymalizować i przy takim warunku poszukiwać minimum innej. Zauważmy jednak, że takie podejścia wymagają dokonania pewnych arbitralnych wyborów w postaci drogi postępowania oraz liczbowych wartości ograniczeń.

Możliwe jest też inne podejście, polegające na przekształceniu dwóch badanych funkcji w jedną w taki sposób, który odzwierciedli oba postulaty optymalizacyjne i ujmie je w sposób syntetyczny. Na przykład mogłaby to być różnica pomiędzy funkcją maksymalizowaną a minimalizowaną. Ale jeśli może być różnica, to może zamiast niej iloraz? Przy czym wtedy pojawi się problem ewentualnego dzielenia przez zero. Dodatkowo w tym przekształceniu mogłyby się pojawiać parametry, które decydować będą o ważności poszczególnych cząstkowych funkcji kryterialnych. Szczególnie w przypadku, gdy ich wartości są wyrażane w różnych jednostkach.

To tylko garść rozważań na temat możliwych sposobów radzenia sobie z zagadnieniem optymalizacji wielokryterialnej. Przemyślenia te, na razie niekonstruktywne, w kolejnych tekstach przejdą w propozycje konkretnych przekształceń prowadzących – w zamierzeniu – do maksymalizacji oczekiwanych zysków oraz redukcji ryzyka.