Korelacje strategii - jak się ma geometria do statystyki

Kontynuujemy rozważania mające na celu podejście do dywersyfikacji strategii za pomocą wzorów matematycznych. Poprzednia ich część dostępna tutaj doprowadziła do formuły pozwalającej na wyznaczenie cosinusa kąta pomiędzy wektorami reprezentującymi wyniki działania strategii.

Ponieważ rozważania te mogły wydawać się nieco abstrakcyjne, przypomnę teraz jaka jest praktyczna interpretacja składowych wektorów u i v występujących w tej formule Powstają one poprzez przekształcenie wektorów zawierających wyniki obu strategii, uzyskane w kolejnych interwałach czasowych. Oznaczmy te wektory x i y.

Wektory te następnie podlegają przekształceniu polegającemu na odjęciu od każdej współrzędnej wektora średniej arytmetycznej wszystkich jego współrzędnych. Przy czym wartość ta, dla każdego z dwu wektorów jest oznaczana poziomą kreską nad literą odpowiadającą temu wektorowi.

Znając związek pomiędzy wektorami u i x oraz v i y, oraz stosując symbol sumy, można wzór na cosinus kąta między wektorami u i v zapisać w następującej, równoważnej postaci:

 

Czytelnik znający choćby podstawowe elementy statystyki, z łatwością odnajdzie w powyższym wzorze znany dobrze wskaźnik statystyczny. Tak, to jest współczynnik korelacji, wyznaczany na podstawie próby losowej. Wielkość, która jest miernikiem zależności dwu wielkości liczbowych. Przyjmuje on wartości od -1 do +1, a jego wartość równa 0 oznacza brak związku pomiędzy dwoma mierzonymi wielkościami.

Co więcej, analogie pomiędzy statystyką a geometrią się tutaj nie kończą. W liczniku znajduje się kowariancja będąca odpowiednikiem iloczynu skalarnego. Z kolei w mianowniku jest iloczyn odchyleń standardowych, który jest odpowiednikiem iloczynu długości mnożonych przez siebie wektorów.

Wynika z tego zatem, że po prostu poszukujemy takich par strategii, których wyniki stanowią nieskorelowane ciągi liczb. Można by zadawać w tym momencie pytania: „Czy nie można było tak od samego początku?”, „Po co bawić się w jakieś rysunki kolorowych kresek ze strzałkami?”. W końcu współczynnik korelacji jest wskaźnikiem klasycznym, powszechnie znanym. Byle arkusz kalkulacyjny ma go w swoim zestawie funkcji.

Może i można było, jednak zależało mi na przedstawieniu pewnej analogii pomiędzy geometrycznym podejściem do postulatu redukcji ryzyka a statystyczną analizą danych. Oczywiście, zdaję sobie sprawę, że powyższe wzory i przekształcenia mogą wydawać się dość teoretyczne i „suche”. Dlatego też w kolejnych odcinkach przedstawię przykład liczbowy ilustrujący praktyczne obliczenia z zastosowaniem tych wzorów dla konkretnych zbiorów danych.