Dywersyfikacja strategii – wzory matematyczne

W przedstawionej niedawno serii tekstów przybliżającej obrazowo koncepcję dywersyfikacji strategii posłużyłem się analogiami do geometrii. Jakkolwiek rysunki są zwykle pomocne w ogólnym uchwyceniu idei, to precyzyjne jej zrozumienie zwykle wymaga formalnego ujęcia w postaci wielkości liczbowych, definiujących je wzorów i zależności pomiędzy nimi. To chciałbym uczynić w najbliższych dwu tekstach.

Intuicyjne rozważania, poparte rysunkami, doprowadziły do konkluzji, że warto poszukiwać strategii reprezentowanych przez wektory prostopadłe. W przypadku klasycznej geometrii na płaszczyźnie, relacja prostopadłości wektorów, zwana też ortogonalnością, może być łatwo sprawdzana za pomocą cyrkla i linijki. Jednak w przypadku badania strategii opisywanych za pomocą wektorów o wielu współrzędnych, metody graficzne nie wystarczają – potrzebne są wielkości liczbowe.

Taką wielkością jest iloczyn skalarny dwu wektorów. W przypadku przestrzeni dwu- i trójwymiarowych ma on swoją interpretację jako iloczyn długości obu wektorów pomnożony przez cosinus kąta zawartego pomiędzy nimi. W przypadku przestrzeni dowolnego wymiaru jest on formalnie definiowany jako suma iloczynów odpowiednich współrzędnych obu wektorów.

Zestawienie tych obu faktów prowadzi do wzoru pozwalającego na badanie wzajemnego przestrzennego położenia wektorów nawet w przypadkach wielowymiarowych, gdzie nie da się tego zaprezentować graficznie. Załóżmy, że są dane dwa wektory: u i v w przestrzeni o N wymiarach, o następujących współrzędnych:

Ponieważ w prezentowanych dotąd tekstach nie pojawiały się wzory matematyczne, jest teraz okazja aby wyjaśnić jedną ze stosowanych przeze mnie konwencji oznaczeń. Pozostałe będę omawiać przy kolejnych wzorach zawierających nie występujące wcześniej rodzaje symboli.

Ze względu na to, że wielkości wektorowe będą się co jakiś czas pojawiać w podawanych przeze mnie wzorach, będę starał się konsekwentnie oznaczać je literami pogrubionymi, natomiast ich współrzędne będą wypisane w nawiasach okrągłych. Przy tym stosować będę numerację tych współrzędnych, jak również innych wielkości wyliczanych, rozpoczynając zawsze od 0. Czyli na przykład wektor w przestrzeni 10-wymiarowej będzie miał współrzędne o indeksach od 0 do 9.

Można teraz napisać wzór pozwalający na obliczenie cosinusa kąta pomiędzy wektorami u i v w przestrzeni dowolnego wymiaru:

 

Symbol małego kółka pomiędzy dwoma wektorami oznacza właśnie operację iloczynu skalarnego, natomiast pionowe kreski oznaczają długość wektora, czyli pierwiastek z sumy kwadratów jego współrzędnych. Końcowa postać wzoru została przedstawiona w postaci elementarnych operacji algebraicznych.

Należy teraz sobie przypomnieć postulat, od którego zaczęły się te wszystkie matematyczne dywagacje: wyznaczenie strategii, dla których odpowiadające im wektory są prostopadłe, czyli inaczej ortogonalne. Jak wiadomo, cosinus kąta prostego wynosi zero, zatem sprowadza się to do poszukiwania takiej pary strategii, aby obliczenia wykonane przy użyciu podanego wyżej wzoru dały w wyniku zero. Ponieważ jednak w rzeczywistości może okazać się trudne (lub nawet niemożliwe) uzyskanie dokładnie zera, praktyczna realizacja tego postulatu sprowadza się do poszukiwania wartości w przybliżeniu równej zeru, z możliwie niewielkim odchyleniem.

Ponieważ rozważania te mogą wydawać się nieco abstrakcyjne, w kolejnej części wskażę jaka jest praktyczna interpretacja zmiennych występujących w podanym wzorze.