W artykule Jak można mieć wroga i przyjaciela w tej samej osobie wskazałem na to jak
koncepcja dwu wirtualnych
inwestorów
może prowadzić do redukcji ryzyka. Dalsze
geometryczno - statystyczne dywagacje,
mające w zamierzeniu liczbowe ujęcie tego zjawiska, doprowadziły
do postulatu, aby współczynnik korelacji pomiędzy sekwencjami
zysków był możliwie
bliski zeru.
Sens tego kryterium najlepiej zilustruje przykład, który
przedstawię w obecnym odcinku.
Przykład
ten zawiera dane reprezentujące sekwencje zysków osiąganych w
kolejnych przedziałach czasowych przez „braci bliźniaków”. Te
same dane, które były zaprezentowane na wcześniej omawianych
wykresach. Przedział
czasowy
to tydzień kalendarzowy, a horyzont
czasowy
inwestycji, jak pamiętamy, wynosi nieco ponad rok. Daje to sekwencje
każda o długości około 60 elementów. Jest to zdecydowanie zbyt
dużo,
aby był sens wykonywać obliczenia na kartce papieru, albo nawet
przy użyciu zwykłego kalkulatora.
Dlatego
też, jak w wielu podawanych w przyszłości przykładach, proponuję
zaprzęgnięcie do pracy arkusza
kalkulacyjnego.
Ponieważ jednym z najpopularniejszych jest Excel, prezentować będę
arkusze obliczeniowe właśnie w formacie danych stosowanym przezeń,
czyli w postaci plików XLS. Dodatkowo warto pamiętać, że
jakkolwiek aplikacja ta stanowi część komercyjnego pakietu
Microsoft Office, to istnieje darmowy
pakiet biurowy
OpenOffice dostępny tutaj , który w wielu
zastosowaniach zapewnia podobną funkcjonalność co jego komercyjny
odpowiednik. Większość przykładowych arkuszy będę konstruować
tak, aby możliwe było ich przeliczenie właśnie za pomocą
OpenOffice.
Niezależnie
od tego, dla czytelników zainteresowanych wykonaniem obliczeń w
jakimkolwiek innym programie, podaję plik w formacie
CSV.
Jest on po prostu plikiem tekstowym, zawierającym w kolejnych
linijkach wartości liczbowe oddzielane przecinkami. Wspominam o tym
formacie między innymi dlatego, że w dalszych, nawet bardziej
zaawansowanych przykładach, ten format będzie często stosowany do
przekazywania końcowych albo pośrednich wyników obliczeń. W tym
przypadku wartości te to odpowiednio: data w postaci liczby, wartość
skumulowanego zysku inwestora podążającego za trendem, i
analogiczna wartość dla inwestora antytrendowego.
Natomiast
obliczenia zrealizowane za pomocą arkusza kalkulacyjnego można
znaleźć w tym pliku. Pokrótce omówię teraz jego strukturę i układ komórek,
licząc na to, że pomoże to w zrozumieniu metody obliczeń.
Kolumna
A zawiera kolejne daty początków przedziałów czasowych w postaci
liczbowej. Kolumna C zawiera wartości skumulowanych zysków
inwestora protrendowego. Początkowa
wartość równa 0 oznacza po prostu, że interesuje nas różnica
pomiędzy bieżącą
wartością
jego kapitału a kapitałem
początkowym.
Kolejna kolumna zawiera, począwszy od drugiego tygodnia, różnice
czyli zyski bądź straty osiągane w kolejnych tygodniach. Na samym
jej dole znajduje się formuła wyznaczająca średnią arytmetyczną
tych wartości, czyli średni tygodniowy wynik działania strategii.
W
kolejnej kolumnie znajdują się wartości wyników tygodniowych z
odjętą średnią, ponieważ jak wskazałem z tekście o
geometrycznej
interpretacji
tutaj, interesuje nas ryzyko jako wskaźnik odchyleń od średniego zysku. Z
kolei kolumna F zawiera wartości poprzedniej podniesione do
kwadratu. Na samym jej dole znajduje się pierwiastek kwadratowy sumy
tych wartości, czyli po prostu długość
wektora
odchyleń (zwana też jego normą
Euklidesową).
Jest ona miarą
ryzyka.
Analogiczny
układ wartości znajduje się w
kolumnach od H do K, oczywiście odpowiadając strategii
antytrendowej. Kolumna M zaś zawiera iloczyny odchyleń jednej
strategii i drugiej. Na jej dole znajduje się suma tych iloczynów
czyli wspomniany już wcześniej iloczyn
skalarny.
W sąsiedniej komórce jest wartość tego iloczynu podzielona przez
iloczyn długości wektorów obu strategii. Jak wiemy, w
interpretacji statystycznej jest to po prostu współczynnik
korelacji pomiędzy wynikami strategii w poszczególnych przedziałach
czasowych.
W
podanym przykładzie wartość tego współczynnika wynosi on
niewiele ponad 0.02. Oznacza to, że wektory strategii są niemal
idealnie ortogonalne.
W następnej części zostaną podane obliczenia pokazujące w jaki
sposób przekłada się to na redukcję ryzyka strategii uśrednionej.