Proces autoregresji pierwszego rzędu – elementarne własności

Wprowadzony został niedawno model liniowy szeregu czasowego w postaci procesu autoregresji. Jest to model parametryczny, co oznacza, że parametry tego procesu muszą być jakoś określone. Mogą zostać zadane arbitralnie lub wynikać z pewnego procesu wnioskowania. Na tym ostatnim podejściu chciałbym się skupić. W pierwszej kolejności jednak warto rozważyć najprostszy przykład procesu, który jest przedmiotem rozważań.

Jak pamiętamy, w równaniu autoregresji opisanym ostatnio występuje kombinacja liniowa przeszłych wartości procesu będącego przedmiotem opisu. Liczba zmiennych po prawej stronie tego równania – czyli liczba przeszłych wartości procesu branych pod uwagę, jest istotnym elementem konstrukcji modelu dla rozważanego procesu zysków. W istocie – ile ostatnich zmiennych jest branych pod uwagę, tyle współczynników musi być zadanych aby model mógł być uznany za kompletny.

Parametryczny opis procesu autoregresji

W poprzednim tekście zaproponowałem badanie sekwencji danych uzyskiwanych jako rezultaty stosowania strategii pod kątem modeli szeregów czasowych. Te modele mają za zadanie ująć w postaci ilościowej zależności zachodzące w obrębie tych ciągów liczb. Wskazałem na szczególną rolę procesu autoregresji. Teraz przejdę do wyjaśnienia jego sensu, zaczynając od podstawowych pojęć z nim związanych, aby później przejść do zastosowań w analizie rynków terminowych.

Pojęcie funkcji regresji jest dość powszechnie znane wśród osób zainteresowanych analizą danych, szczególnie ekonometrycznych. Jest to, w dużym uproszczeniu, forma ujęcia funkcyjnej zależności jednej wielkości od drugiej. A zależność ta ma formę funkcji liniowej. Występują tam, w najprostszym przypadku, dwa współczynniki: współczynnik kierunkowy (tangens kąta nachylenia prostej regresji) oraz wyraz wolny. A ich dobór odbywa się z wykorzystaniem też klasycznej metody najmniejszych kwadratów.

Modele liniowe szeregów czasowych – proces autoregresji

Sekwencje danych, zarówno otrzymywane w wyniku zastosowania strategii pro- jak i antytrendowych, są przedmiotem zainteresowania twórców i badaczy mechanicznych systemów transakcyjnych. Analiza korelacji zachodzących w obrębie tych sekwencji jest narzędziem badania procesów opisujących rozliczenia pozycji zajmowanych przez gracza stosującego elementarną strategię.

Te korelacje, zachodzące pomiędzy poszczególnymi próbkami tego samego szeregu czasowego, nazywane są autokorelacjami. Ich zestaw – sam w sobie ciąg danych – opisuje charakter zależności zachodzących w tej sekwencji. Jednak zależność, rozumiana jako współczynniki korelacji, jest niewystarczającym narzędziem do opisu zjawisk zachodzących w tym procesie. Potrzebny jest nam model.

Struktura korelacyjna sekwencji zysków a modele liniowe szeregów czasowych dla procesów finansowych

Po zaimplementowaniu formuł arkusza kalkulacyjnego, które pozwalają wyznaczyć zyski - elementarne i skumulowane – dla strategii antytrendowej, mogliśmy rozpocząć analizy i interpretacje wyników. Zasadniczym naszym narzędziem jest wskaźnik statystyczny w postaci współczynnika korelacji, który – obliczany dla różnych zestawów sekwencji wejściowych – ujmuje w sposób ilościowy zależności występujące pomiędzy nimi. Szczególnym przypadkiem było zagadnienie wyznaczania wewnętrznych zależności w obrębie pojedynczej sekwencji rozliczeń, co doprowadziło nas do wykorzystania funkcji autokorelacji. Dzisiaj na krótko chcę wrócić do tego pojęcia na poziomie ogólnym, próbując wskazać dalsze etapy zastosowania wyznaczonych w ten sposób współczynników.

Same współczynniki, estymowane poprzez obliczanie odpowiednich iloczynów elementów w wejściowych sekwencjach (scentrowanych poprzez odjęcie próbkowych średnich) dają nam ogólne wyobrażenie o zależnościach pomiędzy rozkładami elementów w funkcji ich wzajemnego położenia. Jak pamiętamy, dodatnie wartości tych liczb, malejące wraz ze zwiększającą się odległością pomiędzy próbkami w sekwencji, przekładają się na serie następujących po sobie wyników o podobnych znakach i zbliżonych wartościach. A to objawia się w postaci występujących długich serii przyrostów kapitału ale i długich, głębokich i potencjalnie wyniszczających psychikę gracza obsunięć.

Korelacje sekwencji zysków w strategii antytrendowej – fragment macierzy współczynników

Ostatnio omówiliśmy konstrukcję formuł, które pozwalają wyznaczyć ilościowe oceny zależności występujących w sekwencjach wyników gracza stosującego strategię antytrendową. Jak wspominałem wcześniej, zadanie było – z matematycznego punktu widzenia – banalne, ponieważ zasadniczo sprowadzało się do powielenia i zaadaptowania analogicznych formuł opracowanych wcześniej dla strategii podążającej za trendem. Skoro formuły, jak również towarzyszące im wykresy są gotowe, to warto trochę się im poprzyglądać.

A żeby zanadto się nie rozgadywać, to od razu proponuję rzut oka na tablicę współczynników korelacji pomiędzy sekwencjami zysków dla różnych parametrów odwrócenia. Oczywiście sama tablica nie jest czymś specjalnie ciekawym a poza tym od poprzedniego wpisu już i tak widnieje przed oczyma czytelników. Natomiast teraz pragnę zwrócić uwagę na zaznaczony czerwoną łamaną obwódką jej fragment.

Rozliczenia pozycji w strategii antytrendowej – konstrukcja formuł zawierających korelacje

Ostatnio przedstawiłem i wstępnie omówiłem wykresy skumulowanych zysków gracza stosującego strategię antytrendową. Wynik ten daje nam do ręki narzędzie, które pozwala na śledzenie wzrokowe historii kapitału takich graczy. A użycie liczby mnogiej stanowi ponowną okazję do przypomnienia że wynikiem symulacji jest cała rodzina trajektorii wyników, uzyskiwanych w wyniku stosowania tej strategii dla różnych wartości parametru decydującego o poziomie odwrócenia pozycji.

Skoro dysponujemy już opracowanymi i zaimplementowanymi formułami na zyski, zarówno elementarne jak i skumulowane, to można zająć się ich analizą. Wzrokową ocenę można uczynić przyglądając się po prostu wykresom. Natomiast nietrudno się domyślić, że – podobnie jak w przypadku wyników dla strategii podążającej za trendem – zaproponuję wyznaczenie pewnych wskaźników statystycznych. Jak pamiętamy, wtedy były to tablice współczynników korelacji i to zarówno pomiędzy różnymi trajektoriami, jak i w ich obrębie.

Rozliczenia pozycji w strategii antytrendowej – wykres skumulowanych zysków

Ostatnie rozważania zostały zakończone na omówieniu formuł scalających rozliczenia pozycji wirtualnych graczy stosujących strategię antytrendową, startujących z pozycji: jeden długiej a drugi krótkiej. Scalenie realizowane zresztą w banalny sposób, jako prosta średnia arytmetyczna wyników uzyskiwanych przez ich obydwu. Znamy również formułę pozwalającą wyliczyć skumulowane zyski tej strategii, a w rezultacie – prześledzenie na wykresie historii ich kapitału. Zatem dzisiaj przyjrzymy się takiemu przykładowemu wykresowi.

Oczywiście, zgodnie z podejściem już od dawna stosowanym tutaj, pod pojęciem strategii rozumieć należy pewien ich zestaw – rodzinę indeksowaną parametrem. W tym przypadku jest to parametr decydujący o odległości poziomu odwrócenia pozycji od początkowego kursu (Open) w bieżącym interwale czasowym. Dlatego też na poniższym wykresie znajduje się zbiór linii kapitału, cała ich wiązka. A trzymając się poprawniejszej terminologii matematycznej powinniśmy raczej określić je jako pęk linii – zbiór o jednym wspólnym punkcie – w tym przypadku jest to punkt startowy.

Rozliczenia pozycji w strategii antytrendowej – obliczanie skumulowanych zysków

Zaprezentowane i omówione zostały ostatnio formuły rozliczeń pozycji gracza stosującego strategię antytrendową. Ściślej rzecz biorąc – jedna formuła, choć składająca się aż z czterech oddzielnych wyrażeń warunkowych, umożliwiających wyznaczenie zysków na danym interwale czasowym dla wszystkich możliwych układów pozycji początkowej i końcowej. Dotyczy ona oczywiście symulacji pojedynczej trajektorii gracza, startującego z określonej pozycji - długiej lub krótkiej. Teraz pora na ich scalenie oraz wyznaczenie sekwencji skumulowanych zysków.

Oczywiście podejście to jest konsekwencją stale przestrzeganego postulatu symulacji działań gracza z neutralną pozycją początkową. Wynika z tego że obok utworzonej ostatnio zakładki ContGainL należy utworzyć drugą, bliźniaczo podobną do niej o oczywistej nazwie ContGainS. I podobnie jak przy symulacji rozliczeń dla gracza podążającego za trendem, tutaj również zawartość tych zakładek jest niemal identyczna, a różnice w formułach sprowadzają się do sufiksów odpowiednich nazw zakładek. Oto fragment zakładki ContGainS obrazujący przykładową formułę w w komórce B3:

Rozliczenia pozycji w strategii antytrendowej – implementacja formuł

Po zakończonych niedawno dygresjach na temat struktur korelacji i autokorelacji pora powrócić do głównego wątku naszych rozważań, czyli rozliczeń strategii w postaci wpływów i obciążeń wynikających z utrzymywania i/lub odwracania pozycji. Do implementacji pozostały wzory definiujące zyski ze strategii antytrendowej. Zatem teraz omówię formułę, którą umieścimy w odpowiedniej zakładce roboczego arkusza.

Analogicznie jak w przypadku rozliczeń strategii podążającej za trendem, nowe zakładki będą mieć nazwy charakteryzujące istotę strategii. W przypadku podejścia kontrariańskiego naturalny jest przedrostek Cont. A piszę o zakładkach w liczbie mnogiej, ponieważ pamiętając o założeniu neutralnej pozycji początkowej i wykorzystując koncepcję wirtualnych inwestorów, każda z trajektorii będzie realizowana w dwóch wariantach, które następnie będą scalane tworząc właściwą historię kapitału gracza antytrendowego.