Proces autoregresji pierwszego rzędu – elementarne własności

Wprowadzony został niedawno model liniowy szeregu czasowego w postaci procesu autoregresji. Jest to model parametryczny, co oznacza, że parametry tego procesu muszą być jakoś określone. Mogą zostać zadane arbitralnie lub wynikać z pewnego procesu wnioskowania. Na tym ostatnim podejściu chciałbym się skupić. W pierwszej kolejności jednak warto rozważyć najprostszy przykład procesu, który jest przedmiotem rozważań.

Jak pamiętamy, w równaniu autoregresji opisanym ostatnio występuje kombinacja liniowa przeszłych wartości procesu będącego przedmiotem opisu. Liczba zmiennych po prawej stronie tego równania – czyli liczba przeszłych wartości procesu branych pod uwagę, jest istotnym elementem konstrukcji modelu dla rozważanego procesu zysków. W istocie – ile ostatnich zmiennych jest branych pod uwagę, tyle współczynników musi być zadanych aby model mógł być uznany za kompletny.

W tym momencie już łatwo odgadnąć propozycję zawartą w dalszej części tego tekstu – skoro proponuję rozpocząć od najprostszego modelu, to zapewne zaczniemy od takiego, w którym występuje tylko jedna obserwacja poprzedzająca bieżącą. Taki proces w istocie będzie przedmiotem najbliższych rozważań, a jego nazwa jest również nietrudna do wywnioskowania – proces autoregresji pierwszego rzędu, bo o nim mowa, bierze swoją nazwę od jednej zmiennej zawartej w jego opisie.

 A powyżej zostało podane równanie, które wprost wynika z podanych wyżej założeń – zależność od pojedynczej przeszłej wartości procesu – a dokładnie ostatniej znanej, czyli o indeksie o jeden mniejszym od bieżącego. Jeden parametr modelu, oznaczony grecką literą alfa – indeksowanie jest zatem zbędne. No i składnik losowy – nie wolno o nim zapominać!

Równanie w sposób ewidentny ma charakter rekurencyjny – proces odwołuje się do swoich przeszłych wartości. W wielu sytuacjach, również przy ilościowej analizie rezultatów strategii na rynku Forex, mamy do czynienia z procesem, w którym występują zmienne stanu, a przyszłe wartości procesu wyrażają się poprzez formuły zawierające właśnie takie zmienne. Metody matematyczne, służące do radzenia sobie z tego typu zadaniami nie należą do najłatwiejszych – to trzeba sobie wyraźnie uświadomić. Natomiast w przypadku tej najprostszej wersji modelu autoregresji, z pomocą przychodzi nam zwykły, znany ze szkolnych lekcji matematyki, ciąg geometryczny.

A w jaki sposób? Rozwinięcie tego tematu będzie mieć miejsce w kolejnym tekście, natomiast teraz podaję proste przekształcenie opisywanego dzisiaj modelu, które wnikliwym (albo niecierpliwym) czytelnikom powinno posłużyć jako wskazówka: